10 Contoh Soal Induksi Matematika, Bisa Jadi Bahan Ajar Siswa Kelas 11

JAKARTA, iNews.id - Contoh soal induksi Matematika berikut ini bisa jadi referensi belajar. Materi satu ini bisa siswa temukan di mata pelajaran Matematika kelas 11.

Melansir Kuntarti, dkk (2006), dalam buku Matematika SMA dan MA untuk Kelas XII Semester 2, induksi merupakan salah satu upaya pembuktian teorema umum atau rumus dalam Matematika.

Yordania Akui Ikut Gabung AS dalam Membombardir Suriah dengan Target ISIS

Materi induksi pada Matematika mempelajari tentang metode penalaran yang sifatnya deduktif yang umumnya diterapkan pada pembuktian secara universal tentang suatu pernyataan matematik, seperti teori graf, kombinatorik, ataupun teori bilangan.

Nah, bagi kamu yang ingin mendalami materi satu ini berikut iNews.id akan berikan informasi mengenai contoh soal induksi Matematika:

Prisma: Pengertian, Sifat, Rumus, Contoh Soal dan Jawabannya

Contoh Soal Induksi Matematika

1. Tulislah dengan notasi sigma 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7!

Jawaban:

Sudut Lancip, Siku-Siku dan Tumpul, Ini Pengertian dan Besarannya

= 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7= (1 + 2) + (2 + 1) + (3 + 1) + (4 + 1) + (5 + 1) + (6 + 1) = 6 Σ (n + 1) n = 1

2. Buktikan dengan induksi matematika bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n². Untuk n bilangan asli.

Jawaban:

Misalkan P(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = 2²

Langkah 1

P(n) = 2n – 1 = n"2

Langkah 2:

Dibuktikan implikasi P(k) benar -> P(k+ 1) benar P(k) = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k -1) k"2

Untuk P(k + 1) berlaku:

= 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1)

= 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 2 – 1)

= 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1 – 1) = K"2 + (2k + 1)

Jadi, bisa disimpulkan bahwa P(n) benar untuk n bilangan asli.

3. Buktikan untuk setiap n bilangan positif berlaku 1 + 2 + 3 +…+ n = 1/2 n(n + 1)

Jawaban:

Misalkan p(n) = 1 + 2 + 3 + …. + n = 1/2 n(n + 1)

Ikuti rumus induksi matematika berikut.

P(n) benar untuk n = 1, karena p(1) adalah 1 = 1/2 1(1 + 1) = 1, maka p(1) benar.

Diasumsikan bahwa p(n) benar untuk n = k.

Jadi, pernyataan 1 + 2 + 3 + …. + k = 1/2k (k+1) bernilai benar.

4. Buktikan jika 32n + 22n + 2 dan habis dibagi 5.

Terapkan tahap-tahap berikut ini:

Langkah Pertama:

32(1) + 22(1) + 2 = 32 + 24 = 9 + 16 = 25.

Langkah Kedua Memakai 2 (n = k)

32k + 22k + 2

Langkah Ketiga ( = k + 1)

= 32(k + 1) + 22(2k + 2)

= 32k + 2 + 22k + 2 + 2

= 32(32k) + 22(22k + 2)

= 10(32k) + 5(22k + 2) – 32k – 22k + 2

= 10 (32k) + 5 (22k + 2) – (32k + 22k+2)

Jadi pernyataan matematika tersebut benar-benar habis dibagi 5.

5. Buktikan dengan induksi matematika bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = n². Untuk n bilangan asli

Jawaban:

Misalkan P(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = 2²

Langkah 1:P(n) = 2n - 1 = n²

Untuk n = 1, maka:2(1) - 1 = 1²1=1

Jadi, pernyataan benar untuk n = 1

Langkah 2:

Akan dibuktikan implikasi P(k) benar → P(k+1) benarP(k) = 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2k -1) k²

Untuk P(k + 1) berlaku:= 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2(k+1) - 1)= 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 2 - 1)

= 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1)

= k² + (2k+1) = k² + 2k + 1

Ingat: (a+1)² = a² + 2a + 1

Maka= k² + 2k + 1 = (k + 1)²

Jadi, berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa P(n) benar untuk n bilangan asli.

6. Tulislah dengan notasi sigma 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7?

Jawaban:

= 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7= (1+2) + (2+1) + (3+1) + (4+1) + (5+1) + (6+1)=6 Σ (n+1)n=1

7. Contoh soal induksi matematika buktikan untuk setiap n bilangan positif berlaku

1+2+3+...+n = 1/2 n(n+1)

Jawaban:

Misalkan p(n) = 1 + 2 + 3 + .... + n = 1/2 n(n+1)

Jadi, dengan mengikuti rumus induksi matematika jawabannya adalah sebagai berikut

-Ditunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = 1, karena p(1) adalah 1=1/2 1(1+1) = 1, maka p(1) benar

-Diasumsikan bahwa p(n) benar untuk n = k. Dengan kata lain, pernyataan 1 + 2 + 3 + .... + k = 1/2k (k+1) bernilai benar.

8. Buktikanlah jika 32n + 22n + 2 benar-benar habis dibagi 5.

Langkah Pertama

32(1) + 22(1)+2 = 32 + 24 = 9 + 16 = 25, jadi benar-benar habis dibagi 5. Hal ini terbukti.

Langkah Kedua Menggunakan 2 (n = k)

32k + 22k + 2

Langkah Ketiga ( = k + 1)

= 32(k+1) + 22(2k+2)

= 32k+2 + 22k+2+2

= 32(32k) + 22(22k+2)

= 10(32k) + 5(22k+2) – 32k – 22k+2

= 10 (32k) + 5 (22k+2) – (32k + 22k+2)

Diperoleh:

10 (32k) sudah habis dibagi 5, 5(22k+2) sudah habis dibagi 5 dan –(32k) + 22k+2 juga habis dibagi 5.

Semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan memakai induksi matematika bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1.

Cari tahu basis induksi terlebih dahulu yaitu 20 = 20+1 – 1. Jadi, sangat jelas bahwa 20 = 1

Jika p(n) benar, yakni 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 adalah benar, maka tunjukkan bahwa p(n+1) juga benar: 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 juga benar, maka tunjukkan bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22 + … + 2n) + 2n+1 = (2n+1 – 1) + 2n+1 (hipotesis induksi).

= (2n+1 + 2n+1) – 1

= (2.2n+1) – 1

= 2n+2 – 1

= 2(n+1)+1 – 1

Maka dapat dibuktikan bahwa semua bilangan bulat tidak negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1.

9. Coba buktikan jika 6n + 4 sudah habis dibagi 5 untuk tiap-tiap n N.

Langkah Awal

Langkah ini akan menunjukkan jika p(1) adalah benar. 61 + 4 = 10 habis dibagi oleh angka 5. Hal ini membuktikan bahwa p(1) adalah benar.

Langkah Induksi

Berikutnya adalah langkah induksi. Pada langkah induksi, ibaratkan saja p(k) adalah benar, maka 6k + 4 sudah habis dibagi dengan angka 5, k N. Hal ini akan menunjukkan p(k + 1) adalah juga benar yaitu 6k+1 + 4 juga habis dibagi angka 5.

6k+1 + 4 = 6(6k) + 4

6k+1 + 4 = 5(6k) + 6k + 4

Jika 5(6k) telah habis dibagi 5 dan 6k + 4 juga habis dibagi 5, maka 5(6k) + 6k + 4 juga pasti akan dibagi habis dengan angka 5. Jadi, p(k + 1) adalah benar.

10. Buktikanlah bahwa bagi setiap n N dan n0 N berlaku seperti 1 + 3 + 5 + … + n(n + 1)/2 = 1/6 n (n + 1) (n + 2).

Langkah Awal

n = 1

12 = 1/6 1 (1 + 1) (1 + 2)

1 = 1 adalah benar terbukti.

Langkah Induksi

n = k

1 + 3 + 5 + … + n(n + 1)/2 = 1/6 n (n + 1) (n + 2) juga adalah benar.

Dengan demikian jelas terbukti bahwa setiap n N dan n0 N berlaku seperti 1 + 3 + 5 + … + n(n + 1)/2 = 1/6 n (n + 1) (n + 2). Tentu ini menjadi soal paling sederhana, diantara soal-soal lainnya.

Itulah ulasan mengenai contoh soal Induksi Matematika. Semoga bermanfaat!

Editor: Puti Aini Yasmin