11 Contoh Soal Limit beserta Jawaban Pembahasannya Lengkap Rumusnya

JAKARTA, iNews.id - Contoh soal limit beserta jawabannya penting untuk dipelajari para siswa di bangku sekolah. Apalagi, mendekati tanggal ujian sekolah, soal bisa digunakan sebagai bahan latihan.

Apa Itu Limit dan Rumusnya?

Melansir buku 'Supertrik Matematika SMA/MA' terbitan Jogja Bangkit Publisher, jika fungs f(x) dan nilai f(a) terdefinisi, maka

lim f(x) = f(a)
x→a

Contoh Soal Limit Beserta Jawabannya

1. Hitunglah nilai dari lim(x -> 3) (2x + 1).

40 Contoh Soal US Matematika Kelas 6 Lengkap dengan Kunci Jawabannya

Usai Baku Tembak Mematikan, Kuba Identifikasi Penyusup Teroris dari AS

Pembahasan: Substitusikan nilai x dengan 3 pada fungsi. Maka, lim(x -> 3) (2x + 1) = 2(3) + 1 = 7.

2. Hitunglah nilai dari lim(x -> 0) (x"2 + 3x).

7 Contoh Soal Integral Matematika SMA dan Jawaban Pembahasannya Lengkap

Pembahasan: Substitusikan nilai x dengan 0 pada fungsi. Maka, lim(x -> 0) (x"2 + 3x) = 0"2 + 3(0) = 0.

3. Hitunglah nilai dari lim(x -> 1) (x"3 - 1) / (x - 1).

Pembahasan: Kita tidak dapat langsung substitusikan nilai x dengan 1 pada fungsi karena menghasilkan bentuk 0/0 yang tidak terdefinisi.

Namun, dengan menyederhanakan fungsi, kita dapat menghilangkan permasalahan ini. Kita faktorkan x"3 - 1 menggunakan rumus selisih kubik, sehingga lim(x -> 1) (x"3 - 1) / (x - 1) = lim(x -> 1) [(x - 1)(x"2 + x + 1)] / (x - 1). Kita bisa membagi faktor (x - 1) pada numerator dan denominator, sehingga lim(x -> 1) (x"3 - 1) / (x - 1) = lim(x -> 1) (x"2 + x + 1) = 1"2 + 1 + 1 = 3.

4. Hitunglah nilai dari lim(x -> ∞) (2x"2 - 3x + 1) / (4x"2 + 5x - 2).

Pembahasan: Pada limit tak hingga, kita perhatikan suku dengan pangkat tertinggi pada numerator dan denominator, yaitu x"2. Dalam hal ini, kita dapat mengabaikan suku-suku lainnya. Jadi, lim(x -> ∞) (2x"2 - 3x + 1) / (4x"2 + 5x - 2) = 2x"2 / 4x"2 = 1/2.

5. Hitunglah nilai dari lim(x -> -3) (x"2 - 9) / (x + 3).

Pembahasan: Kita tidak dapat langsung substitusikan nilai x dengan -3 pada fungsi karena menghasilkan bentuk 0/0 yang tidak terdefinisi. Namun, kita dapat menyederhanakan fungsi dengan faktorisasi.

Faktorkan x"2 - 9 menggunakan rumus selisih kuadrat, sehingga lim(x -> -3) (x"2 - 9) / (x + 3) = lim(x -> -3) [(x - 3)(x + 3)] / (x + 3). Faktor (x + 3) pada numerator dan denominator saling menyelimuti, sehingga dapat dibatalkan, dan kita peroleh lim(x -> -3) (x"2 - 9) / (x + 3) = lim(x -> -3) (x - 3) = -6.

6. Hitunglah nilai dari lim(x -> 5) √(x+2) - √7.

Pembahasan: Substitusikan nilai x dengan 5 pada fungsi. Maka, lim(x -> 5) √(x+2) - √7 = √(5+2) - √7 = √7 - √7 = 0.

7. Hitunglah nilai dari lim(x -> π/2) sin(3x).

Pembahasan contoh soal limit beserta jawabannya: Substitusikan nilai x dengan π/2 pada fungsi. Maka, lim(x -> π/2) sin(3x) = sin(3(π/2)) = sin(3π/2) = -1.

8. Hitunglah nilai dari lim(x -> 4) (2x"2 - 16) / (x - 4).

Pembahasan: Kita tidak dapat langsung substitusikan nilai x dengan 4 pada fungsi karena menghasilkan bentuk 0/0 yang tidak terdefinisi. Namun, kita dapat menyederhanakan fungsi dengan faktorisasi.

Faktorkan 2x"2 - 16 menggunakan rumus selisih kuadrat, sehingga lim(x -> 4) (2x"2 - 16) / (x - 4) = lim(x -> 4) [2(x + 4)(x - 4)] / (x - 4). Faktor (x - 4) pada numerator dan denominator saling menyelimuti, sehingga dapat dibatalkan, dan kita peroleh lim(x -> 4) (2x"2 - 16) / (x - 4) = lim(x -> 4) 2(x + 4) = 2(4 + 4) = 16.

9. Hitunglah nilai dari lim(x -> 0) (tan(x) / x).

Pembahasan: Kita tidak dapat langsung substitusikan nilai x dengan 0 pada fungsi karena menghasilkan bentuk 0/0 yang tidak terdefinisi. Namun, dengan menggunakan aturan L'Hôpital, kita dapat mencari turunan dari fungsi tersebut.

Turunkan fungsi pada numerator dan denominator secara terpisah, sehingga lim(x -> 0) (tan(x) / x) = lim(x -> 0) (sec"2(x) / 1) = 1/1 = 1.

10. Hitunglah nilai dari lim(x -> ∞) (e"x) / (x"3).

Pembahasan: Pada limit tak hingga, kita perhatikan suku dengan pangkat tertinggi pada numerator dan denominator, yaitu x"3 dan e"x. Dalam hal ini, pangkat pada fungsi eksponensial tumbuh lebih cepat daripada pangkat polinomial. Oleh karena itu, limit tersebut akan menuju tak hingga positif. Jadi, lim(x -> ∞) (e"x) / (x"3) = ∞.

11. Hitunglah nilai dari lim(x -> 2) (x"3 - 8) / (x"2 - 4).

Pembahasan: Kita tidak dapat langsung substitusikan nilai x dengan 2 pada fungsi karena menghasilkan bentuk 0/0 yang tidak terdefinisi. Namun, dengan menyederhanakan fungsi, kita dapat menghilangkan permasalahan ini.

Faktorkan x"3 - 8 menggunakan rumus selisih kubik, dan faktorkan x"2 - 4 menggunakan rumus selisih kuadrat, sehingga lim(x -> 2) (x"3 - 8) / (x"2 - 4) = lim(x -> 2) [(x - 2)(x"2 + 2x + 4)] / [(x - 2)(x + 2)]. Faktor (x - 2) pada numerator dan denominator saling menyelimuti, sehingga dapat dibatalkan, dan kita peroleh lim(x -> 2) (x"3 - 8) / (x"2 - 4) = lim(x -> 2) (x"2 + 2x + 4) = 2"2 + 2(2) + 4 = 12.

Demikian contoh soal limit beserta jawabannya. Semoga bisa dipahami ya!

Editor: Puti Aini Yasmin