Martinez bergabung ke tim muda Arsenal pada tahun 2010. Namun Martinez jarang mendapat tempat di skuad The Gunners.
Dia lebih banyak menghabiskan kariernya di Arsenal sebagai pemain pinjaman. Dia sempat dipinjamkan ke beberapa klub seperti Reading, Rotherham, Getafe hingga Wolverhampton.
Hingga akhrinya, dia dibeli secara permanen oleh Aston Villa dari Arsenal pada tahun 2020. Bersama Aston Villa, Martinez menemukan performa terbaiknya.
Dia mencatatkan 18 kali cleansheet selama berseragam The Villans. Puncaknya, Martinez masuk dalam skuad Argentina di Copa America 2021.
Kemampuan Martinez menggagalkan penalti terbukti di Copa America 2021. Martinez menjadi pahlawan Argentina saat menang adu penalti lawan Kolombia di semifinal.Kiprah gemilang di Copa America 2021 ditutup dengan gelar juara usai mengalahkan Brazil di final.
Penampilan apik di Copa America 2021 mendapat sanjungan setinggi langit dari sahabatnya di Timnas Argentina Lionel Messi. Bahkan Messi secara khusus memeluk erat Martinez usai Argentina memastikan gelar juara Copa America 2021.