7 Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawaban Pembahasannya Lengkap

2. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n"2.

Jawaban 2:
Basis Induksi (n = 1):
Ketika n = 1, 1 = 1"2. Pernyataan benar.

Langkah Induksi (asumsi induksi):
Anggap pernyataan benar untuk n = k, yaitu 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k"2.

Langkah Induksi (langkah induksi):
Buktikan untuk n = k + 1, yaitu 1 + 3 + 5 + ... + (2(k+1)-1) = (k+1)"2.
1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2(k+1)-1) = k"2 + (2(k+1)-1)
= k"2 + 2k + 1
= (k+1)"2

Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.

3. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 7"n - 1 adalah kelipatan 6.

Jawaban contoh soal induksi matematika:
Basis Induksi (n = 1):
Ketika n = 1, 7"1 - 1 = 6, dan 6 adalah kelipatan 6. Pernyataan benar.

Langkah Induksi (asumsi induksi):
Anggap pernyataan benar untuk n = k, yaitu 7"k - 1 adalah kelipatan 6.

Langkah Induksi (langkah induksi):
Buktikan untuk n = k + 1, yaitu 7"(k+1) - 1 adalah kelipatan 6.
7"(k+1) - 1 = 7"k * 7 - 1
= (6 + 1)"k * 7 - 1 (dengan asumsi induksi)
= 6m + 7 - 1 (dalam bentuk kelipatan 6)
= 6m + 6
= 6(m + 1)

Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.

4. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 3"n + 5"n adalah kelipatan 8.

Jawaban 4:
Basis Induksi (n = 1):
Ketika n = 1, 3"1 + 5"1 = 8, dan 8 adalah kelipatan 8. Pernyataan benar.

Langkah Induksi (asumsi induksi):
Anggap pernyataan benar untuk n = k, yaitu 3"k + 5"k adalah kelipatan 8.

Langkah Induksi (langkah induksi):
Buktikan untuk n = k + 1, yaitu 3"(k+1) + 5"(k+1) adalah kelipatan 8.
3"(k+1) + 5"(k+1) = 3 * 3"k + 5 * 5"k
= 3 * (3"k + 5"k) + 2 * 5"k
= 3 * (3"k + 5"k) + 2 * (4 + 1)"k (dengan asumsi induksi)
= 3 * (3"k + 5"k) + 2 * (4"k + k * 4"(k-1) + 1) (berdasarkan ekspansi binomial)
= 3 * (3"k + 5"k) + 2 * 4"k + 2 * k * 4"(k-1) + 2
= 8m + 2 * k * 4"(k-1) + 2
= 8(m + k * 4"(k-2) + 1)

Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.