Bersama keluarganya, Elkan Baggott pernah tinggal di Bintaro, Jakarta. Dia juga bersekolah di British International School (kini British School Jakarta). Di sekolah itu, dia sempat ditunjuk sebagai kapten tim sepak bola.
Dia juga sempat menimba ilmu sepak bola Soccer Schools International (SSI), Jakarta, klub yang didanai oleh Arsenal Football Club. Baru pada 2011, keluarganya memutuskan untuk menetap di Inggris.
Setelah bergabung dengan Ipswich Town Junior dengan beasiswa dua tahun pada 2019, Elkan Baggott melakoni debut seniornya untuk klub tersebut pada 6 Oktober 2020, dalam kemenangan 2-0 atas Gillingham di EFL Trophy.
Pada 28 Januari 2021, dia menandatangani kontrak profesional pertamanya dengan Ipswich, diikat masa kerja dua setengah tahun dengan opsi perpanjangan satu tahun.
Pada 16 April 2022, dia menjadi pemain Indonesia pertama yang bermain di liga profesional Inggris saat ia tampil untuk Ipswich Town dalam pertandingan EFL League One melawan Rotherham United. Kemudian, dia menandatangani kontrak baru berdurasi tiga tahun dengan klub tersebut pada Juni 2022. Kini, dia dipinjamkan ke Blackpool selama satu musim.