5. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 4"n - 1 adalah kelipatan 3.
Jawaban 5:
Basis Induksi (n = 1):
Ketika n = 1, 4"1 - 1 = 3, dan 3 adalah kelipatan 3. Pernyataan benar.
Langkah Induksi (asumsi induksi):
Anggap pernyataan benar untuk n = k, yaitu 4"k - 1 adalah kelipatan 3.
Langkah Induksi (langkah induksi):
Buktikan untuk n = k + 1, yaitu 4"(k+1) - 1 adalah kelipatan 3.
4"(k+1) - 1 = 4 * 4"k - 1
= (3 + 1) * 4"k - 1
= 3 * 4"k + 4"k - 1
= 3 * (4"k - 1) + 4"k - 2
= 3 * (4"k - 1) + (3 + 1) - 2
= 3 * (4"k - 1) + 3
= 3 * (4"k - 1 + 1)
Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
6. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 11"n - 6"n adalah kelipatan 5.
Jawaban 6:
Basis Induksi (n = 1):
Ketika n = 1, 11"1 - 6"1 = 11 - 6 = 5, dan 5 adalah kelipatan 5. Pernyataan benar.
Langkah Induksi (asumsi induksi):
Anggap pernyataan benar untuk n = k, yaitu 11"k - 6"k adalah kelipatan 5.
Langkah Induksi (langkah induksi):
Buktikan untuk n = k + 1, yaitu 11"(k+1) - 6"(k+1) adalah kelipatan 5.
11"(k+1) - 6"(k+1) = 11 * 11"k - 6 * 6"k
= 5 * 11"k + 11"k - 5 * 6"k
= 5 * (11"k - 6"k) + 11"k
= 5 * (11"k - 6"k + 1)
Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
7. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, 2"n + 3"n adalah kelipatan 5.
Jawaban 7:
Basis Induksi (n = 1):
Ketika n = 1, 2"1 + 3"1 = 2 + 3 = 5, dan 5 adalah kelipatan 5. Pernyataan benar.
Langkah Induksi (asumsi induksi):
Anggap pernyataan benar untuk n = k, yaitu 2"k + 3"k adalah kelipatan 5.
Langkah Induksi (langkah induksi):
Buktikan untuk n = k + 1, yaitu 2"(k+1) + 3"(k+1) adalah kelipatan 5.
2"(k+1) + 3"(k+1) = 2 * 2"k + 3 * 3"k
= 2 * (2"k + 3"k) + 3 * 3"k
= 2 * (2"k + 3"k) + 3 * (4 - 1)"k (dengan asumsi induksi)
= 2 * (2"k + 3"k) + 3 * (4"k - k * 4"(k-1) + 1) (berdasarkan ekspansi binomial)
= 2 * (2"k + 3"k) + 3 * 4"k - 3 * k * 4"(k-1) + 3
= 5m + 3 * (4"k - k * 4"(k-1) + 1)
= 5m + 3 * (4"k - k * 4"(k-1) + 1 - k + k)
= 5m + 3 * (4"k - (k - 1) * 4"(k-1) + k)
Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan bulat positif n.
Demikian contoh soal induksi matematika dan jawabannya. Semoga bisa dipahami ya!