10 Contoh Soal Induksi Matematika, Bisa Jadi Bahan Ajar Siswa Kelas 11 

2. Buktikan dengan induksi matematika bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n². Untuk n bilangan asli.

Jawaban:

Misalkan P(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = 2²

Langkah 1

P(n) = 2n – 1 = n"2

Langkah 2:

Dibuktikan implikasi P(k) benar -> P(k+ 1) benar P(k) = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k -1) k"2

Untuk P(k + 1) berlaku:

= 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1)

= 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 2 – 1)

= 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1 – 1) = K"2 + (2k + 1)

Jadi, bisa disimpulkan bahwa P(n) benar untuk n bilangan asli.

3. Buktikan untuk setiap n bilangan positif berlaku 1 + 2 + 3 +…+ n = 1/2 n(n + 1)

Jawaban:

Misalkan p(n) = 1 + 2 + 3 + …. + n = 1/2 n(n + 1)

Ikuti rumus induksi matematika berikut.

P(n) benar untuk n = 1, karena p(1) adalah 1 = 1/2 1(1 + 1) = 1, maka p(1) benar.

Diasumsikan bahwa p(n) benar untuk n = k.

Jadi, pernyataan 1 + 2 + 3 + …. + k = 1/2k (k+1) bernilai benar.

4. Buktikan jika 32n + 22n + 2 dan habis dibagi 5.

Terapkan tahap-tahap berikut ini:

Langkah Pertama:

32(1) + 22(1) + 2 = 32 + 24 = 9 + 16 = 25.

Langkah Kedua Memakai 2 (n = k)

32k + 22k + 2

Langkah Ketiga ( = k + 1)

= 32(k + 1) + 22(2k + 2)

= 32k + 2 + 22k + 2 + 2

= 32(32k) + 22(22k + 2)

= 10(32k) + 5(22k + 2) – 32k – 22k + 2

= 10 (32k) + 5 (22k + 2) – (32k + 22k+2)

Jadi pernyataan matematika tersebut benar-benar habis dibagi 5.

5. Buktikan dengan induksi matematika bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = n². Untuk n bilangan asli