10 Contoh Soal Induksi Matematika, Bisa Jadi Bahan Ajar Siswa Kelas 11 

Diasumsikan bahwa p(n) benar untuk n = k.

Jadi, pernyataan 1 + 2 + 3 + …. + k = 1/2k (k+1) bernilai benar.

4. Buktikan jika 32n + 22n + 2 dan habis dibagi 5.

Terapkan tahap-tahap berikut ini:

Langkah Pertama:

32(1) + 22(1) + 2 = 32 + 24 = 9 + 16 = 25.

Langkah Kedua Memakai 2 (n = k)

32k + 22k + 2

Langkah Ketiga ( = k + 1)

= 32(k + 1) + 22(2k + 2)

= 32k + 2 + 22k + 2 + 2

= 32(32k) + 22(22k + 2)

= 10(32k) + 5(22k + 2) – 32k – 22k + 2

= 10 (32k) + 5 (22k + 2) – (32k + 22k+2)

Jadi pernyataan matematika tersebut benar-benar habis dibagi 5.

5. Buktikan dengan induksi matematika bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = n². Untuk n bilangan asli

Jawaban:

Misalkan P(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = 2²

Langkah 1:P(n) = 2n - 1 = n²

Untuk n = 1, maka:2(1) - 1 = 1²1=1

Jadi, pernyataan benar untuk n = 1

Langkah 2:

Akan dibuktikan implikasi P(k) benar → P(k+1) benarP(k) = 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2k -1) k²

Untuk P(k + 1) berlaku:= 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2(k+1) - 1)= 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 2 - 1)

= 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1)

= k² + (2k+1) = k² + 2k + 1

Ingat: (a+1)² = a² + 2a + 1

Maka= k² + 2k + 1 = (k + 1)²

Jadi, berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa P(n) benar untuk n bilangan asli.

6. Tulislah dengan notasi sigma 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7?

Jawaban: 

= 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7= (1+2) + (2+1) + (3+1) + (4+1) + (5+1) + (6+1)=6 Σ (n+1)n=1