Setelah menyelesaikan pendidikan, Curry memulai karier profesionalnya di panggung London.
Pada 1968, ia mendapatkan peran dalam produksi Hair. Menariknya, Curry pernah mengaku berbohong ketika ditanya mengenai pengalaman profesional dan kepemilikan kartu Equity, yakni kartu keanggotaan serikat pekerja aktor Inggris.
Namun, bakatnya membuat produser tetap terkesan. Pada akhirnya, Curry mendapatkan dukungan untuk bergabung dengan serikat tersebut.
Karier panggungnya kemudian berkembang pesat. Ia tampil dalam berbagai produksi, termasuk Travesties, Amadeus, The Pirates of Penzance, My Favorite Year hingga Spamalot.
Kemampuan Curry memainkan karakter yang sangat berbeda membuatnya menjadi salah satu aktor panggung paling dihormati pada generasinya.