Ia tercatat memperoleh tiga nominasi Tony Awards, masing-masing berkaitan dengan penampilannya dalam Amadeus, My Favorite Year, dan Spamalot.
Dalam Amadeus, Curry memerankan Wolfgang Amadeus Mozart. Ia kemudian memainkan King Arthur dalam Spamalot, termasuk produksi Chicago, Broadway dan London.
Selain Tony Awards, Curry juga mendapatkan dua nominasi Laurence Olivier Awards dan satu kemenangan Daytime Emmy.
Ia juga pernah mendapatkan nominasi Grammy untuk kategori Best Spoken Word Album for Children berkat A Series of Unfortunate Events – Book 1: The Bad Beginning.
Kemampuan Curry tidak berhenti pada akting.
Ia memiliki karier sebagai penyanyi dan pernah merilis beberapa album musik, termasuk Read My Lips, Fearless dan Simplicity.